دو جمله ای

در جبر، دو جمله ای عبارتی است که دارای دو عبارت متفاوت از طریق عملگر جمع یا تفریق است. به عنوان مثال، 2xy + 7y یک دو جمله ای است زیرا دو جمله وجود دارد. عبارات جبری را می توان بسته به تعداد عبارات موجود به انواع مختلفی دسته بندی کرد، مانند یک جمله، دو جمله ای، سه جمله ای و غیره.

در این مقاله به بررسی عبارت دوجمله ای در جبر، ویژگی های آن و هویت های آن می پردازیم که برای حل مسائل مختلف جبر استفاده می شود. برای درک بهتر مفهوم، مثال های حل شده مختلف را بر اساس دوجمله ای مرور خواهیم کرد.

دوجمله ای چیست؟

دو جمله ای یک عبارت جبری است که دارای دو جمله است. به عبارت دیگر، یک عبارت جبری متشکل از دو عبارت متفاوت که دارای ثابت و متغیر است، یک عبارت دو جمله ای است. این عبارات با استفاده از عملگرهای حسابی مانند + (+) و (منهای) به هم می پیوندند. یک دوجمله ای، همراه با یک جمله، سه جمله ای، چهارجمله ای، و غیره بر اساس تعداد عباراتی که در آن وجود دارد، تحت عبارات جبری دسته بندی می شوند. بر خلاف عبارات ذکر شده در تصویر زیر موارد زیر را رعایت کنید. این چند مثال است که توضیح می دهد چند جمله ای دقیقاً چه چیزی و چگونه به عنوان دو جمله ای، تک جمله ای و سه جمله ای طبقه بندی می شود.

معنی دو جمله ای

دو جمله ای یک عبارت جبری است که شامل دو عبارت مختلف است که با جمع یا تفریق به هم متصل می شوند. به عبارت دیگر، می توان گفت که دو تک جمله متمایز با درجات مختلف که با علامت مثبت یا منفی به هم متصل شده اند یک دوجمله ای را تشکیل می دهند. برای مثال، دو تک اسمی 2x و 5x10 را در نظر بگیرید. عبارت برای اضافه کردن این تک جمله ها یک دوجمله ای به دست می دهد که با 2x + 5x 10 به دست می آید.

ضریب دو جمله ای

ضرایب دوجمله ای اعداد صحیح مثبتی هستند که ضرایب عبارت در یک بسط دوجمله ای هستند. می دانیم که یک بسط دو جمله ای '(x + y) که به n' یا (x + n) n افزایش یافته است را می توان به صورت (x+y) n = n C گسترش داد₀x n y 0 + n C₁x n-1 y 1 + n C₂x n-2 y 2 + .+ n C_n-1x 1 y n-1 + n C_nx 0 y n، که در آن، n ≥ 0 یک عدد صحیح و هر n C است_kیک عدد صحیح مثبت است که به عنوان ضریب دو جمله ای با استفاده از قضیه دو جمله ای شناخته می شود. در اینجا، n توان دوجمله ای است، و k 1 کمتر از تعداد جمله مورد نظر ما است که در آن n ≥ k ≥ 0 است. در زیر آورده شده است،

بگذارید مثالی برای درک بهتر آن را بگیریم. برای یافتن ضرایب دوتایی انبساط (x + 4) 5 ، اجازه دهید فرمول ضریب دوتایی فوق را اعمال کنیم. در اینجا ، مقدار n 5 است.

برای k = 0 (برای دوره اول) ، 5 درجه سانتیگراد داریم₀= (5!) / [0!(5-0)!]

این بدان معنی است که ضریب دوتایی اصطلاح اول عبارت (x + 4) 5 است. به طور مشابه ، برای k = 1 (برای دوره دوم) ، ما 5 درجه سانتیگراد داریم₁= (5!) / [1!(5-1)!].

این بدان معنی است که ضریب دوتایی اصطلاح دوم عبارت (x + 4) 5 5 است.

5 درجه سانتیگراد₂= 5!/(2! × 3!) = (3 × 4 × 3!)/(2 × 1 × 3!)

5 درجه سانتیگراد₃= 5!/(3! × 2!) = (3 × 4 × 3!)/(3 × 2 × 1)

با استفاده از این فرمول ضرایب دوتایی ، می توانیم ضرایب اصطلاحات را حتی بدون گسترش گسترش پیدا کنیم. ضرایب تمام 6 اصطلاح دوتایی (x + 4) 5 1 ، 5 ، 10 ، 10 ، 5 و 1 است. فرم ، ما نوع خاصی از مثلث معروف به مثلث پاسکال را دریافت خواهیم کرد.

دو جمله ای فاکتورینگ

فاکتورسازی فرایند بیان یک بیان جبری به عنوان محصول عوامل آن است. فاکتورسازی binomial به معنای تجزیه دوتایی در محصول دو عبارت است. همانطور که می دانیم دوتایی عباراتی هستند که حاوی دو اصطلاح هستند ، بنابراین با فاکتورسازی یک binomial ، ما دو عامل آن را از درجه پایین دریافت خواهیم کرد. چهار قانون فاکتورسازی binomial وجود دارد که در زیر آورده شده است:

قانون 1: فاکتورسازی binomial با استفاده از بزرگترین عامل مشترک (GCF).

اگر هر دو شرایط دوتایی داده شده دارای یک عامل مشترک باشد ، می توان از آن برای فاکتور دوتایی استفاده کرد. به عنوان مثال ، در 2x 2 + 6x ، هر دو اصطلاح بیشترین عامل مشترک 2x را دارند.

وقتی 2x 2 ÷ 2x = x و ، 6x ÷ 2x = 3

بنابراین ، 2x 2 + 6x را می توان به عنوان 2x (x + 3) معرفی کرد.

قانون 2: فاکتورسازی binomial با استفاده از تفاوت مربع ها.

با وجود برخی از binomials ، هیچ فاکتور مشترکی از هر دو اصطلاح وجود ندارد ، اما هنوز هم می توانیم آنها را فاکتور کنیم. یکی از این روش ها با در نظر گرفتن تفاوت مربع ها است. اگر تشخیص دهیم که هر دو اصطلاح به شکل x 2 - y 2 هستند ، می توانیم از هویت زیر برای فاکتور سازی چنین دوتایی استفاده کنیم: x 2 - y 2 = (x+y) ( x-y). به عنوان مثال ، بگذارید یک 2 - 9 را فاکتور کنیم. در اینجا ، یک 2 مربع A و 9 مربع 3 است.

⇒ A 2 - 9 = A 2 - 3 2

با استفاده از هویت جبری: x 2-y 2 = (x+y) (x-y) ، می توانیم آن را به صورت (a+3) (a-3) بنویسیم. بنابراین ، A 2 - 9 = (A+3) ( A-3).

قانون 3: فاکتورسازی binomial با استفاده از جمع مکعب ها.

بعضی اوقات ، دوتایی به عنوان مجموع مکعب ها داده می شود ، به عنوان مثال ، x 3 + 27. در چنین مواردی ، از هویت جبری زیر می توان برای فاکتورسازی دوتایی استفاده کرد: A 3 + B 3 = (A + B) (A 2-AB + B 2). به عنوان مثال ، اجازه دهید binomial x 3 + 27 را فاکتور کنیم. در اینجا x 3 مکعب x و 27 مکعب 3 است.

⇒ x 3 + 27 = x 3 + 3 3

با استفاده از هویت جبری: A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 - AB + B 2) ، می توانیم آن را به صورت (x + 3) (x 2 - 3x + 9) بنویسیم. بنابراین ، x 3 + 27 = (x + 3) (x 2 - 3x + 9).

قانون 4: فاکتورسازی binomial با استفاده از تفاوت هویت مکعب.

نوع دیگری از دوتایی تفاوت مکعب ها است ، به عنوان مثال ، y 3 - 64. در چنین مواردی ، از هویت جبری زیر می توان برای فاکتورسازی دوتایی استفاده کرد: یک 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab+ B 2). به عنوان مثال ، اجازه دهید دوتایی y 3 - 64 را فاکتور کنیم. در اینجا y 3 مکعب y و 64 مکعب 4 است.

⇒ y 3 - 64 = y 3 - 4 3

با استفاده از هویت جبری: A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2) ، می توانیم آن را به صورت (Y - 4) (Y 2 + 4y + 16) بنویسیم. بنابراین ، y 3 - 64 = (y - 4) (y 2 + 4y + 16).

در اینجا ، توجه به این نکته حائز اهمیت است که هر دوتایی را نمی توان به دو عبارت حاوی ضرایب منطقی معرفی کرد. این باید هر یک از چهار نوع توضیح داده شده در بالا باشد. یک نمونه از دوتایی که نمی توان آنرا مورد بررسی قرار داد 3A 2 + 16 است.

مربع دوجمله ای

مربع یک binomial مجموع مربع دوره اول است ، دو برابر محصول هر دو اصطلاح و مربع دوره دوم. هنگامی که علامت هر دو اصطلاح مثبت است ، ما از هویت زیر برای مربع کردن binomial استفاده می کنیم: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2. هنگامی که علامت اصطلاح دوم منفی است ، ما از هویت زیر استفاده می کنیم: (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2. و هنگامی که هر دو اصطلاح منفی هستند ، از هویت زیر برای مربع کردن دوتایی استفاده می شود: ( - A - B) 2 = A 2 + 2AB + B 2. بگذارید مثالی برای درک مفهوم مربع دوتایی استفاده کنیم. مربع 2x - 5 را پیدا کنید.

⇒ (2x - 5) 2 = (2x) 2 - 2 × (2x) × 5 + (5) 2 [با استفاده از هویت: (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2]

بنابراین ، (2x - 5) 2 = 4x 2 - 20x + 25. در اینجا ، ذکر این نکته حائز اهمیت است که مربع یک دوتایی همیشه یک ترینومی است.

یادداشت های مهم در مورد binomial

• Binomial یک عبارت جبری است که از دو مونوم مختلف از درجه های مختلف متصل به علامت + یا - است.
• ما می توانیم با استفاده از قوانین مختلف فاکتورسازی ، عبارات دوتایی را عامل کنیم.
• برای پیدا کردن مقدار بیان دومی که به یک قدرت افزایش یافته است ، از قضیه دوتایی استفاده می کنیم.

مقالات مرتبط

نمونه های دوتایی

مثال 1: دو جمله ای ها را از عبارت های زیر انتخاب کنید: (a) x 2 (b) 3 + 5x (c) x+5y.

راه حل:

عبارات (b) 3 + 5x و (c) x+5y دو جمله ای هستند زیرا این عبارات دقیقاً دو جمله دارند.

مثال 2: ضریب دوجمله ای جمله 5 بسط (a - 9) 8 را بیابید.

راه حل:

فرمول برای یافتن ضریب دو جمله ای n C است_k= (n!) / [k !(n-k)!]. در اینجا n توان عبارت داده شده و k 1 کمتر از عبارت مورد نظر ما است. در سوال داده شده، n = 8، و k = 5 - 1 = 4.

= (8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 4!)

= (8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1)

= 70 بنابراین، ضریب ترم پنجم بسط (a - 9) 8 برابر 70 است.

مثال 3: مجموع عبارات دو جمله ای زیر را ساده کنید: (7x + 9y) + (-9 + 2x).

راه حل:

(7x + 9y) + (-9 + 2x) جدا کردن عبارت های مشابه، = 7x + 2x + 9y - 9 = 9x + 9y - 9 در نظر گرفتن 9 به عنوان یک عامل مشترک، 9 (x + y-1) بنابراین، ساده کردنعبارات دو جمله ای (7x + 9y) + (-9 + 2x) 9 (x + y-1) را به عنوان نتیجه به دست می دهد.

با استفاده از منطق، نه قوانین، قهرمان حل مسئله شوید. با کارشناسان خبره ما دلایل ریاضی را بیاموزید