Martingale (تئوری احتمال)

در تئوری احتمال ، مارتینگال الگویی از یک بازی عادلانه است که هیچ دانش از وقایع گذشته نمی تواند به پیش بینی برنده های آینده کمک کند. به طور خاص ، یک مارتینگله دنباله ای از متغیرهای تصادفی (یعنی یک فرآیند تصادفی) است که برای آن ، در یک زمان خاص در دنباله تحقق یافته ، انتظار مقدار بعدی در دنباله برابر است با ارزش مشاهده شده فعلی حتی با توجه به دانشتمام مقادیر قبلی مشاهده شده در یک زمان فعلی.

در مقابل ، در فرایندی که یک مارتینگال نیست ، ممکن است هنوز هم چنین باشد که مقدار مورد انتظار روند در یک زمان برابر با ارزش مورد انتظار روند در زمان بعدی باشد. با این حال ، دانش در مورد نتایج قبلی (به عنوان مثال ، تمام کارتهای قبلی که از یک کارت کارت تهیه شده است) ممکن است قادر به کاهش عدم اطمینان نتایج آینده باشد. بنابراین ، در صورت استفاده از استراتژی برنده ، ارزش مورد انتظار نتیجه بعدی با توجه به دانش موجود و تمام نتایج قبلی ممکن است بالاتر از نتیجه فعلی باشد. Martingales امکان برنده شدن استراتژی های مبتنی بر تاریخ بازی را حذف می کند و بنابراین آنها الگویی از بازی های عادلانه هستند.

در ابتدا ، مارتینگاله به طبقه ای از استراتژی های شرط بندی اشاره کرد که در قرن 18th فرانسه محبوب بود. [1] [2]ساده ترین این استراتژی ها برای یک بازی طراحی شده است که در آن قمارباز سهم خود را برنده می شود اگر سکه به سر بیاید و اگر سکه به وجود بیاید ، آن را از دست می دهد. این استراتژی این قمار را پس از هر باخت دو برابر کرده است تا اولین برد تمام ضررهای قبلی را به همراه کسب سود برابر با سهام اصلی بدست آورد. از آنجا که ثروت قمارباز و زمان موجود به طور مشترک به بی نهایت نزدیک می شود ، احتمال وی در نهایت سر زدن به سران به 1 نزدیک می شود ، که باعث می شود استراتژی شرط بندی Martingale یک چیز مطمئن به نظر برسد. با این حال ، رشد نمایی شرط ها در نهایت کاربران خود را ورشکسته می کند. حرکت Brownian Stuted ، که یک فرآیند Martingale است ، می تواند برای مدل سازی مسیر چنین بازی هایی استفاده شود.

مفهوم Martingale در تئوری احتمال توسط پل پیر لوی معرفی شد و بخش عمده ای از پیشرفت اصلی این تئوری توسط جوزف لئو دووب در میان دیگران انجام شده است. بخشی از انگیزه این کار نشان دادن عدم امکان استراتژی های شرط بندی موفق بود. تعاریف

یک تعریف اساسی از یک مارتینگل در زمان گسسته ، یک فرآیند تصادفی در زمان گسسته است (یعنی دنباله ای از متغیرهای تصادفی) x₁، ایکس₂، ایکس₃،که برای هر زمان رضایت می دهد ،

( mathbf (x_ mid x_1 ، ldots ، x_n) = x_n ، )

یعنی ارزش مورد انتظار مشروط مشاهده بعدی ، با توجه به تمام مشاهدات گذشته ، برابر با آخرین مشاهده است. با توجه به خطی بودن انتظار ، این نیاز دوم معادل:

( mathbf (x_ - x_n mid x_1 ، ldots ، x_n) = 0 ، )

که بیان می کند که میانگین "برنده" از مشاهده n تا مشاهده n+1 0 است.

به طور کلی ، یک دنباله Y1 ، Y2 ، Y3. گفته می شود که با توجه به دنباله دیگری X1 ، X2 ، X3 یک مارتینگال است. اگر برای همه n

( mathbf (y_ mid x_1 ، ldots ، x_n) = y_n. )

به طور مشابه ، یک مارتینگال به موقع با توجه به فرآیند تصادفی XT یک فرآیند تصادفی است به گونه ای که برای همه t

( mathbf (y_ mid ) = y_s ، forall s leq t.)

این خاصیت را بیان می کند که انتظار شرطی از یک مشاهده در زمان t ، با توجه به تمام مشاهدات تا زمان S ، برابر با مشاهده در زمان S است (البته ، به شرط آنکه S ≤ T باشد). تعریف عمومی

در کلیت کامل ، یک فرآیند تصادفی y: t × ω → S یک مارتینگال با توجه به فیلتراسیون σ ∗ و اندازه گیری احتمال p در صورتی است

σ ∗ تصفیه فضای احتمال اساسی (ω ، σ ، P) است. y با فیلتراسیون σ ∗ ، یعنی برای هر t در مجموعه شاخص t سازگار است ، متغیر تصادفی YT یک تابع قابل اندازه گیری σT است. برای هر t ، y در فضای LP L1 (ω ، σt ، p ؛ s) ، یعنی.

برای همه S و T با S

جایی که χf عملکرد نشانگر رویداد F. را در فرآیندهای Grimmett و Stirzaker و فرآیندهای تصادفی نشان می دهد ، این شرایط آخر به عنوان مشخص شده است

که یک شکل کلی از انتظار مشروط است. [3]

توجه به این نکته حائز اهمیت است که خاصیت مارتینگیل هم شامل فیلتراسیون و هم اندازه گیری احتمال (با توجه به انتظارات) است. این امکان وجود دارد که y با توجه به یک اندازه گیری ، می تواند یک مارتینگال باشد اما دیگری نیست. قضیه Girsanov راهی برای یافتن معیاری با توجه به اینکه یک فرایند Itō یک مارتینگال است ، ارائه می دهد.

نمونه هایی از Martingales

• یک پیاده روی تصادفی بی طرفانه (در هر تعداد ابعاد) نمونه ای از مارتینگال است.

• اگر تمام بازی های شرط بندی که قمارباز بازی می کنند عادلانه هستند ، ثروت قمارباز (سرمایه) یک مارتینگال است.

• URN Polya حاوی تعدادی تیله رنگی مختلف است و هر تکرار یک مرمر به طور تصادفی از URN انتخاب می شود و با چند مورد دیگر از همان رنگ جایگزین می شود. برای هر رنگ معین ، نسبت تیله ها در داخل اورن با آن رنگ یک مارتینگال است. به عنوان مثال ، اگر در حال حاضر 95 ٪ از تیله ها قرمز هستند ، اگرچه تکرار بعدی بسیار بیشتر از این است که باعث اضافه شدن تیله های قرمز بیشتر نشود ، این تعصب دقیقاً با این واقعیت متعادل می شود که اضافه کردن تیله های قرمز بیشتر باعث تغییر می شودنسبت بسیار کمتر از اضافه کردن همان تعداد تیله های غیر قرمز.

• فرض کنید x_حرفثروت قمارباز پس از N Tosses از یک سکه منصفانه است ، جایی که قمارباز 1 دلار برنده می شود اگر سکه به سر بیاید و اگر سکه به وجود بیاید 1 دلار از دست می دهد. پس از محاکمه بعدی ، با توجه به تاریخ ، با ثروت فعلی او برابر است ، با توجه به تاریخ ، با ثروت فعلی او برابر است ، بنابراین این سکانس یک مارتینگال است.

• بگذار y_حرف= x_حرف2 - n جایی که x_حرفثروت قمارباز از مثال قبلی است. سپس دنبالهحرف : n = 1, 2, 3, .>یک مارتینگال است. این می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد که افزایش یا از دست دادن کل قمارباز تقریباً بین به علاوه یا منهای ریشه مربع تعداد مراحل متفاوت است.

• (Martingale De Moivre) اکنون یک سکه "ناعادلانه" یا "مغرضانه" فرض کنید ، با احتمال P "سر" و احتمال Q = 1 - P "دم". اجازه دهید

در مورد "سرها" و " -" در مورد "دم" با "+". اجازه دهید

سپسبا توجه بهبشربرای نشان دادن این

(آزمایش نسبتاً احتمال در آمار) تصور می شود که جمعیت با توجه به چگالی احتمال F یا چگالی احتمال دیگر توزیع می شود. یک نمونه تصادفی گرفته شده است ، داده های X1 ،. xnبگذارید "نسبت احتمال" باشد

(که در برنامه ها به عنوان یک آمار آزمون استفاده می شود). اگر جمعیت در واقع با توجه به چگالی F و نه مطابق با G توزیع می شود ، پسبا توجه به.

فرض کنید هر آمیب یا به دو آمیب ، با احتمال P تقسیم می شود ، یا در نهایت می میرد ، با احتمال 1 - p. بگذارید XN تعداد آمیب های زنده مانده در نسل نهم باشد (به ویژه XN = 0 اگر جمعیت تا آن زمان منقرض شده باشد). بگذارید R احتمال انقراض نهایی باشد.(پیدا کردن R به عنوان عملکرد P یک تمرین آموزنده است. اشاره: احتمال اینکه فرزندان یک آمیب در نهایت از بین بروند ، برابر با احتمال اینکه هر یک از فرزندان فوری آن از بین بروند ، با توجه به اینکه آمبای اصلی تقسیم شده است ، برابر است.)

با توجه به.

سری مارتینگل ایجاد شده توسط نرم افزار.

تعداد افراد از هر گونه خاص در یک اکوسیستم با اندازه ثابت تابعی از زمان (گسسته) است و ممکن است به عنوان دنباله ای از متغیرهای تصادفی در نظر گرفته شود. این دنباله یک مارتینگل تحت تئوری یکپارچه خنثی تنوع زیستی است.

اگریک فرآیند پواسون با شدت λ و سپس فرآیند پواسون جبرانی استیک مارتینگل با زمان پیوسته با مسیرهای نمونه راست-پیوسته/لیت چپ است.

نمونه سری martingale را می توان به راحتی با نرم افزار کامپیوتری تولید کرد:

Microsoft Excel یا نرم افزار صفحه گسترده مشابه. 0. 0 را در سلول A1 (بالا سمت چپ) و در سلول زیر آن (A2) =A1+NORMINV(RAND(), 0, 1) را وارد کنید. حالا آن سلول را با کشیدن به پایین کپی کنید تا 300 یا بیشتر کپی ایجاد کنید. این یک سری مارتینگل با میانگین 0 و انحراف استاندارد 1 ایجاد می کند. در حالی که سلول ها هنوز برجسته هستند، به ابزار ایجاد نمودار بروید و نموداری از این مقادیر ایجاد کنید. اکنون هر بار که یک محاسبه مجدد اتفاق می افتد (در اکسل کلید F9 این کار را انجام می دهد) نمودار یک سری مارتینگل دیگر را نمایش می دهد. R. برای بازسازی مثال بالا، نمودار (cumsum(orm(100, mean=0, sd=1)), t="l"، col="darkblue"، lwd=3) را صادر کنید. برای نمایش یک سری مارتینگل دیگر، دستور را دوباره صادر کنید.

زیر مارتینگل ها، سوپرمارتینگال ها و رابطه با توابع هارمونیک

دو تعمیم رایج از مارتینگل وجود دارد که شامل مواردی نیز می شود که مشاهدات فعلی X_nلزوما برابر با انتظار مشروط آینده E [X نیست_n+1|ایکس₁. ایکس_حرف] اما در عوض یک کران بالا یا پایین در انتظار شرطی. این تعاریف نشان دهنده رابطه بین نظریه مارتینگل و نظریه پتانسیل است که مطالعه توابع هارمونیک است. همانطور که یک مارتینگل با زمان پیوسته E [X را برآورده می کند_تی| X_τ : τ≤s>] - X_س= 0 ∀ s ≤ t، یک تابع هارمونیک f معادله دیفرانسیل تصادفی جزئی Δf = 0 را برآورده می کند که در آن Δ عملگر لاپلاسی است. با توجه به فرآیند حرکت براونی W_تیو یک تابع هارمونیک f، فرآیند حاصل از f (W_تی) نیز مارتینگل خواهد بود.

یک زیرمارتینگل با زمان گسسته دنباله ای از متغیرهای تصادفی قابل ادغام (X_1, X_2, X_3,ldots) است.

به همین ترتیب، یک زیرمارتینگل با زمان پیوسته راضی خواهد کرد

<>E[X_t| : au le s>] ge X_s quad forall s le t.

در تئوری پتانسیل، یک تابع ساب هارمونیک f، Δf ≥ 0 را برآورده می کند. هر تابع زیر هارمونیک که در بالا با یک تابع هارمونیک برای همه نقاط روی مرز یک توپ محدود شده باشد، در بالا با تابع هارمونیک برای همه نقاط داخل توپ محدود می شود. به طور مشابه، اگر یک ساب مارتینگل و یک مارتینگل انتظارات مشابهی برای یک زمان معین داشته باشند، تاریخچه ساب مارتینگل به سمت بالا با تاریخچه مارتینگل محدود می شود. به طور کلی، پیشوند "sub-" سازگار است زیرا مشاهدات فعلی Xn کمتر از (یا مساوی) انتظار شرطی E[Xn+1|X1 است. Xn]. در نتیجه، مشاهدات فعلی پشتیبانی از پایین تر از انتظارات مشروط آینده را فراهم می کند و روند در زمان آینده افزایش می یابد.

به طور مشابه، یک سوپرمارتینگا با زمان گسسته راضی می کند

به همین ترتیب، یک سوپرمارتینگل با زمان مداوم راضی کننده خواهد بود

( <>E[X_t| : au le s>] le X_s quad forall s le t.)

در تئوری پتانسیل، تابع فوق هارمونیک f، Δf ≤ 0 را برآورده می کند. هر تابع فوق هارمونیک که در زیر با یک تابع هارمونیک برای همه نقاط روی مرز یک توپ محدود شده باشد، در زیر با تابع هارمونیک برای همه نقاط داخل توپ محدود می شود. به طور مشابه، اگر یک سوپرمارتینگل و یک مارتینگل انتظارات مشابهی برای یک زمان معین داشته باشند، تاریخچه سوپرمارتینگل با تاریخچه مارتینگل محدود می شود. به طور کلی، پیشوند "super-" سازگار است زیرا مشاهدات فعلی Xn بزرگتر از (یا مساوی) انتظار شرطی E[Xn+1|X1 است. Xn]. در نتیجه، مشاهدات فعلی از انتظارات مشروط آینده پشتیبانی می کند و روند در زمان آینده کاهش می یابد.

نمونه هایی از زیر مارتینگل ها و سوپرمارتینگل ها

• هر مارتینگل یک ساب مارتینگل و یک سوپرمارتینگل نیز هست. برعکس، هر فرآیند تصادفی که هم زیر مارتینگل و هم سوپرمارتینگل باشد، مارتینگل است.
• باز هم قماربازی را در نظر بگیرید که با بالا آمدن یک سکه 1 دلار برنده می شود و با بالا آمدن سکه 1 دلار می بازد. اکنون فرض کنید که سکه ممکن است سوگیری داشته باشد، به طوری که با احتمال p بالا بیاید.
  • اگر p برابر با 1/2 باشد، قمارباز به طور متوسط نه برنده می شود و نه می بازد، و ثروت قمارباز در طول زمان یک مارتینگل است.
  • اگر p کمتر از 1/2 باشد، قمارباز به طور متوسط ضرر می کند و ثروت قمارباز در طول زمان یک سوپرمارتینگل است.
  • اگر p بزرگتر از 1/2 باشد، قمارباز به طور متوسط برنده پول می شود، و ثروت قمارباز در طول زمان یک زیر مارتینگل است.

  Martingales و Stoping Times مقاله اصلی: متوقف کردن زمان

  زمان توقف با توجه به دنباله ای از متغیرهای تصادفی x₁، ایکس₂، ایکس₃،یک متغیر تصادفی τ با خاصیتی است که برای هر t ، وقوع یا عدم وقوع رویداد τ = t فقط به مقادیر x بستگی دارد₁، ایکس₂، ایکس₃،ایکس_tبشرشهود پشت این تعریف این است که در هر زمان خاص T ، می توانید به دنباله تا کنون نگاه کنید و بگویید که آیا زمان آن رسیده است. یک نمونه در زندگی واقعی ممکن است زمانی باشد که یک قمارباز جدول قمار را ترک می کند ، که ممکن است تابعی از برنده های قبلی وی باشد (برای مثال ، او ممکن است فقط وقتی شکسته می شود) ، اما او نمی تواند انتخاب کند یا برودبر اساس نتیجه بازی هایی که هنوز بازی نشده است بمانید.

  در بعضی از زمینه ها ، مفهوم زمان متوقف کردن با نیاز به تنها وقوع یا عدم وقوع رویداد τ = t از نظر احتمالی مستقل از x تعریف می شود._{t + 1}، ایکس_{t + 2}،اما نه این که با تاریخچه روند تا زمان t کاملاً مشخص شود. این یک وضعیت ضعیف تر از آنچه در بند بالا ظاهر می شود ، اما به اندازه کافی قوی است که در برخی از اثبات هایی که در آن زمان توقف استفاده می شود ، خدمت کند.

  One of the basic properties of martingales is that, if ( (X_t)_0> ) is a (sub-/super-) martingale and au is a stopping time, then the corresponding stopped process ( (X_t^ au)_0>) تعریف شده توسط (x_t^ tau: = x_<min< au,t>>) همچنین یک مارتینگال (زیر/فوق العاده) است.

  مفهوم یک مارتینگال متوقف شده منجر به یک سری از قضایای مهم می شود ، از جمله ، به عنوان مثال ، قضیه توقف اختیاری که بیان می کند ، در شرایط خاص ، ارزش مورد انتظار یک مارتینگال در زمان توقف برابر با ارزش اولیه آن است. به عنوان مثال ، ما می توانیم از آن استفاده کنیم تا عدم امکان استراتژی های شرط بندی موفق برای یک قمارباز با یک عمر محدود و محدودیت خانه در شرط ها را اثبات کنیم. همچنین ببینید

  نابرابری آزوما حرکتی براونیان مارتینگیل محدودیت قضیه قضیه مارتینگیل قضیه Doob Martingale Doob's Martingale Convergence قضیه های محلی Martingale Semimartingale Martingale دنباله Markov Chain Martingale (سیستم شرط بندی)

  ^ بالسارا ، N. J. (1992). استراتژی های مدیریت پول برای معامله گران آینده. مالی ویلی. پ. 122. ISBN 0-471-52215-5.^ Mansuy ، Roger (ژوئن 2009)."منشأ کلمه" Martingale ". مجله الکترونیکی برای تاریخچه احتمال و آمار 5 (1). برگرفته از 10-22-2011.^ گریمت ، ج. ؛Stirzaker ، D. (2001). احتمال و فرآیندهای تصادفی (ویرایش سوم). انتشارات دانشگاه آکسفورد. ISBN 0-19-857223-9.

  "شکوه و بدبختی های Martingales". مجله الکترونیکی برای تاریخچه احتمال و آمار 5 (1). ژوئن 2009. کل شماره اختصاص داده شده به نظریه احتمال Martingale. ویلیامز ، دیوید (1991). احتمال با Martingales. انتشارات دانشگاه کمبریج. ISBN 0-521-40605-6. کلینرت ، هاگن (2004). انتگرال های مسیر در مکانیک کوانتومی ، آمار ، فیزیک پلیمر و بازارهای مالی (ویرایش 4). سنگاپور: علمی جهانی. ISBN 981-238-107-4. Siminelakis ، پاریس (2010)."Martingales and Stoping Times: استفاده از Martingales در به دست آوردن مرز و تجزیه و تحلیل الگوریتم ها" (PDF). دانشگاه آتن.