دوره تجزیه و تحلیل کلاسیک پیشرفته

دانشگاه ایالتی سن پترزبورگ аакعا м art artrewes let le le آزمایشگاه چبیشف

معادلات دیفرانسیل جزئی و فیزیک ریاضی

فیزیک ریاضی دامنه ریاضیات است که به خوبی از مدل های پدیده های فیزیکی تجزیه و تحلیل می شود. بیشتر ، قوانین طبیعت از نظر معادلات دیفرانسیل جزئی تدوین می شوند. مطالعه به خوبی از مشکلات مختلف برای معادلات دیفرانسیل جزئی شامل مسئله وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها و همچنین به دست آوردن اطلاعات حداکثر کامل در مورد خصوصیات کیفی راه حل ها است. تئوری مدرن معادلات دیفرانسیل جزئی از کلاس گسترده ای از روشها استفاده می کند و با حوزه های مختلف ریاضیات از جمله تجزیه و تحلیل کلاسیک ، تجزیه و تحلیل عملکردی ، هندسه دیفرانسیل ، تئوری سیستم های دینامیکی و سایر موارد در تعامل است.

نظریه نظم

تئوری منظم ، صافی (یعنی حضور یا عدم وجود تکین ها) راه حل های معادلات غیرخطی و سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی را مطالعه می کند. یک وضعیت معمولی برای معادلات بیضوی و پارابولیک مقیاس با داده های صاف عدم وجود تکین ها است (راه حل های چنین معادلات عملکردهای صافی است - این مشکل توسط هیلبرت به عنوان یکی از 23 مشکل مشهور وی تهیه شده است). برای سیستم ها ، وضعیت تغییر می کند و راه حل های معادلات بیضوی غیرخطی ممکن است حتی برای داده های صاف مشکل از دست بدهد. نمونه های دیگر از ظاهر تکین های راه حل ها ، تشکیل امواج شوک در قوانین حفاظت و انتشار تکون های مقادیر اولیه معادلات هیپربولیک در طول خصوصیات است. وجود یا عدم وجود نقاط مفرد یک راه حل یک ویژگی مهم است که به عنوان یک قاعده ، مربوط به پدیده های جسمی جالب است.

از جمله افرادی که در این زمینه کار می کنند N. D. Filonov و T. N. شیلکین

معادلات تکامل

می توان معادلات دیفرانسیل جزئی از نوع تکاملی را به عنوان سیستم های دینامیکی برای توابع با مقادیر در یک فضای نامتناهی بعدی (Banach) درمان کرد. به همین دلیل ، در مطالعه چنین معادلات ، مشکلات تئوری کلاسیک سیستم های دینامیکی با مشکلات معنی دار توپولوژی و تجزیه و تحلیل عملکردی در هم تنیده است. مشکلات اصلی برای مطالعه وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها تحت فرضیات مختلف در مورد مقادیر اولیه ، ثبات راه حل ها و رفتار آنها در زمان های طولانی است. در شکل انتزاعی خود ، تئوری معادلات تکاملی را می توان به عنوان بخشی از تجزیه و تحلیل عملکردی (تئوری سمیگروه ها) رفتار کرد ، اما با در نظر گرفتن مشخصات خاص برخی از مشکلات تکاملی که در فیزیک ریاضی ظاهر می شود ، می توان اساساً حرکت کرداین تئوری (به ویژه ، زیرا مدلهای خاص فیزیک ریاضی ، به عنوان یک قاعده ، دارای خواص اضافی مانند قوانین حفاظت ، تقارن و غیره هستند). مشکلات از نوع تکاملی شامل طیف گسترده ای از مدل ها ، از معادلات کلاسیک موج و گرما و یکی از مشهورترین مدل های تئوری مدرن معادلات دیفرانسیل جزئی-سیستم Navier-Stokes است.

از جمله افرادی که در این زمینه کار می کنند N. D. Filonov و T. N. شیلکین

نظریه طیفی

تئوری طیفی اپراتورهای دیفرانسیل خانواده های پارامتری اپراتورهای دیفرانسیل را در نظر می گیرد و مقادیر پارامتر را انتخاب می کند که معادله مربوطه دارای یک راه حل "خاص" است ، یعنی یک راه حل با برخی از خصوصیات "غیر استاندارد" (به عنوان مثال ، پوسیدگی سریع در بی نهایت ، محدودیت و غیره). در مورد محدود بعدی ، طیف یک اپراتور خطی مجموعه ای از مقادیر ویژه آن است. در مورد نامتناهی بعدی (یعنی برای اپراتورهای دیفرانسیل) ، اوضاع بسیار پیچیده تر و جالب تر می شود. علاوه بر طیف نقطه ، یک اپراتور ممکن است دارای طیف مداوم و باقیمانده باشد. طیف یک اپراتور خطی ویژگی بسیار مهم آن است که به فرد اجازه می دهد خواص عملگر را توصیف کند. این برای برنامه ها بسیار مهم است زیرا در بسیاری از مشکلات کاربردی ، ناظر فقط در مورد طیف مطلع می شود و نه در مورد خود اپراتور. نظریه طیفی اپراتورهای دیفرانسیل از نزدیک با چنین حوزه های فیزیک ریاضی به عنوان مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی ارتباط نزدیکی دارد.

در میان افرادی که در این زمینه کار می کنند N. D. Filonov است.