محاسبه ابعاد فراکتال ها

توجه: پارامترها توسط داده های اصلی ارائه شده از FromLiu و همکاران تخمین زده می شوند.(1992).

تجزیه و تحلیل و یافته ها

مشتقات نظری و تجزیه و تحلیل تجربی نشان می دهد که ساختار فراکتالی یک سلسله مراتب رگ های خونی مشابه شبکه رودخانه ها است. مدل های ریاضی شبکه های رودخانه را می توان در سلسله مراتب رگ های خونی اعمال کرد. با این حال ، در جایی که رگ های خونی نگران هستند ، چگونگی درک بعد فراکتال توزیع اندازه رتبه هنوز یک مشکل است. همانطور که در بالا نشان داده شد ، بعد فراکتال سلسله مراتب رگ های خونی d = 1/ d است_zبشردر حقیقت ، معنی آن بیش از این است. از معادلات (11) و (12) به شرح زیر است

فرض کنید که بعد فراکتال اندازه گیری n_mD است_bبشربا توجه به رابطه اندازه گیری فراکتال (Takayasu ، 1990) ، ما داریم

مقایسه معادله (26) با معادله (27) نشان می دهد

این نشان می دهد که بعد فراکتال توزیع اندازه رگهای خونی (سلسله مراتب فراکتال) D نسبت ابعاد فراکتال ساختار مکانی رگ های خونی (شبکه فراکتال) D است_bبه ابعاد متوسط رگ های خونی (خطوط فراکتال) D_l .

رابطه پارامتر برای درک ابعاد فراکتال سیستم های رگ های خونی برای ما آشکار می شود. از آنجا که D_b≤3 ، D_l≥1 ، ما باید D = 1/ D داشته باشیم_z≤ D_b≤3 ، و در نتیجه D_z1/3. از طرف دیگر ، در واقعیت ، د_b≥2 ، D_l≈ 1 ، بنابراین d = 1/ d_z ≥2. This suggests that the D value ranges from 2 to 3 in principle, and the upper limit ( D =3) is stricter than the lower limit ( D =2). However, Table 2 shows that some calculated values of the fractal dimension are greater than 3, namely, D>3. دلایل ممکن است به شرح زیر باشد. اول ، روش تعیین نسبت bifurcation با قیاس با رویکرد ارائه شده توسط Strahler [12،45] است. این روش مبتنی بر مقیاس بندی به طور کامل نیست و ممکن است R را بیش از حد ارزیابی کند_bمقدار ، و بنابراین بعد فراکتال توسط فرمول D = LN r_b/ln r_lبیشتر از ارزش واقعی آن است. دوم ، بعد سلسله مراتب (d = 1/ d_z) نوعی بعد شباهت است که با بعد جعبه متفاوت است. بعد جعبه بین بعد توپولوژیکی و بعد اقلیدسی فضای تعبیه یک فراکتال وجود دارد. با این حال ، بعد شباهت ممکن است از بعد اقلیدسی فضای تعبیه شده فراتر رود. به یک معنا ، بعد شباهت برای فضای تعمیم یافته به جای فضای واقعی تعریف می شود [22،25]. به طور خلاصه ، محاسبات قابل درک است و بنابراین می تواند قابل قبول باشد.

مقادیر بعد فراکتال نشان داده شده در بالا با استفاده از ایده مقیاس قابل تنظیم است. با توجه به روش ساختار bifurcation Strahler ، نسبت bifurcation برابر با r نیست_b = N_{m -1}/ N_m، اما به شرح زیر است

بر اساس معادله (30) ، بعد فراکتال را می توان با فرمول D * = LN R * تنظیم کرد_b/ln r_l .

با استفاده از فرمول های ذکر شده در بالا ، می توانیم نسبت bifurcation را دوباره تعیین کنیم و سپس بعد فراکتال را تنظیم کنیم. نتایج در آخرین ستون جدول 2 نمایش داده می شود. یک کشف جالب این است که مقادیر ابعاد شباهت بین 2 تا 3 می آید، اما ممکن است شریان های سگ فراتر از حد بالایی 3 یا حد پایین 2 باشد.

سوالات و بحث

الگوهای رام شکل رگ های خونی شبیه به الگوهای شاخه ای از رودخانه ها است. شباهت ها و تفاوت های بین الگوهای رگ های خونی و رودخانه ها برای درک ما از فرآیندهای خود سازماندهی سیستم های طبیعی مفید است. با تبدیل ریاضی و تجزیه و تحلیل تجربی ، خواص اساسی سلسله مراتب رگ های خونی را می توان به شرح زیر آشکار کرد. اولین عود است. بازگشت توسط معادلات (5) ، (9) و (10) نشان داده شده است. این نشانگر شفابخش بودن یا خود میل به سازمان رگ های خونی است. دوم تقارن است. ساختار بازگشتی تقارن ترجمه مقیاس و تقارن مقیاس رشد رشد آلومتری را نشان می دهد. سوم تقلید است. به نظر می رسد ارگانیسم هایی مانند بدن انسان در جریان تکامل از محیط جغرافیایی خود تقلید می کنند. با توجه به این تقلید ، بین ساختار فیزیکی و پیکربندی فیزیولوژیکی شباهت هایی وجود دارد.

با این حال ، مکاتبات بین مدل های رگ های خونی و قوانین ترکیب رودخانه کامل نیست. به قیاس ، هر دو قانون رودخانه و مدل رگ خونی قابل توسعه هستند. اول ، قانون مقیاس بندی خطی قطر رگ خونی هیچ نقطه مقابل رودخانه ها ندارد. ما برای توصیف مقطع رودخانه به یک مدل نیاز داریم. دوم ، قانون مقیاس خطی منطقه زهکشی رودخانه هیچ نقطه مقابل رگ های خونی ندارد. ما برای توصیف حجم حوضه رگ های خونی به یک مدل نیاز داریم. این یک مکاتبات یک به یک بین اندازه گیری رگ های خونی و اندازه گیری رودخانه ها داریم که به شرح زیر جدول بندی شده است (جدول 3). توجه داشته باشید که سطح مقطع رگ های خونی را می توان با قطر یا شعاع جایگزین کرد. به طور مشابه ، مناطق مقطع رودخانه ها را می توان با اعماق نقاط Thalweg جایگزین کرد.

جدول 3. مکاتبات یک به یک بین اندازه گیری رگ های خونی ، اندازه گیری رودخانه ها و اندازه گیری های شهر

اندازه گیری

رگ های خونی

رودخانه

شهر

عدد

تعداد شهر اندازه مشابه

اندازه

شکل 1

شکل 2

آ. درخت رگ خونیدرخت رودخانه. سلسله مراتب شهر

شکل 1. نقشه های طرح مدل های سلسله مراتب از پایین به بالا عروق خونی، رودخانه ها و شهرها (چهار سطح اول)

قیاس بین سلسله مراتب رگ های خونی و شبکه های رودخانه ها را می توان به قیاس بین سلسله مراتب عروق خونی و سلسله مراتب شهرها تعمیم داد زیرا تکامل شهری با الگوهای رودخانه مرتبط است (شکل 1). موقعیت های جغرافیایی رشد شهری دارای سه ویژگی اساسی است [47]. اولین اثر آب نما است. توسعه شهر به رودخانه ها یا دریاچه ها به ویژه رودخانه ها بستگی دارد. دوم اثر لبه است. یک شهر اغلب در مرز بین دو یا چند سیستم منطقه ای مختلف قرار دارد. سومین اثر همتا. شکل زمین فراکتال است [9،10]. با این حال، فرم فراکتال برخی از قسمت ها به دلیل هوازدگی و جریان زدگی تحلیل می رود. شهرها به خود یا خود وابسته هستند [4،22،48]. یک شهر فراکتال معمولاً در ناحیه عاری از فراکتال در یک زمین فراکتال ایجاد می شود. رودخانه ها بر تعامل، ساختار فضایی، توزیع رتبه ای و تمایز عملکرد شهرها تأثیر می گذارند. همبستگی غیرخطی بین رودخانه ها و شهرها منجر به شباهت بین سلسله مراتب شهرها و شبکه رودخانه ها می شود. قیاس بین رودخانه ها و مکان های شهری برای مدت طولانی مورد مطالعه قرار گرفته است و شباهت های بین رودخانه ها و شهرها از جنبه های مختلف آشکار شده است [29-32]. بر اساس قیاس، قوانین نمایی عروق خونی و رودخانه ها را می توان برای تعداد، اندازه و شکل شهرها اعمال کرد (جدول 4). از این توابع نمایی، مجموعه ای از قوانین توان را دنبال می کند که نشان دهنده فراکتال ها، توزیع های اندازه رتبه و مقیاس بندی آلومتریک است. بنابراین ما می توانیم بینشی در مورد سلسله مراتب رگ های خونی در دیدگاه درست به دست آوریم.

جدول 4. قوانین مقیاس خطی تعداد، اندازه و شکل عروق خونی، رودخانه ها و شهرها

اندازه گیری

رگ های خونی

رودخانه

شهر

تعداد (انشعاب، کمیت)

اندازه (طول، جمعیت)

شکل 1 (حجم، مساحت)

شکل 2 (بخش، ناحیه)

توجه: برای عروق خونی، N_mبه تعداد انشعاب کشتی های مرتبه m، L اشاره دارد_mبه طول متوسط کشتی های مرتبه m، V_mبه میانگین حجم حوضه شناورهای مرتبه m و S_mبه میانگین سطح مقطع کشتی های درجه m ؛ برای رودخانه ها، N_mبه تعداد دوشاخه رودخانه های مرتبه m، L اشاره دارد_mبه طول متوسط رودخانه های مرتبه m، A_mبه سطح متوسط زهکشی رودخانه های درجه m و S_mبه میانگین سطح مقطعی رودخانه های سفارش m ؛برای شهرها ، n_mاشاره به تعداد شهرهای سفارش M ، P_mبه میانگین جمعیت شهرهای سفارش m ، a_mبه منطقه متوسط خدمات شهرهای سفارش M و U_mبه منطقه متوسط شهری در شهرهای نظم m.

در این کار ، سلسله مراتب رگ های خونی با استفاده از میانگین آماری به عنوان یک ساختار eudipleural رفتار می شود. به عبارت دیگر ، سلسله مراتب رگ خونی توسط هندسه مونوفراکتال نشان دهنده شفابخش بودن است. این الگوی تقارن دو طرفه است. با این حال ، سلسله مراتب واقعی رگ های خونی نامتقارن است ، و باید با هندسه فراکتال خودفین یا هندسه چند عاملی مدل شود [49]به صورت دو قلوه ای) ، و چند قطعه (جدول 5). یک شیء فراکتالی خودی ایزوتروپیک است و احتمال رشد یکنواخت واحدهای مختلف فراکتال و سرعت رشد یکسان را در جهات مختلف نشان می دهد (شکل 2 (A)). یک شیء فراکتال خودآفین ناهمسانگرد است و احتمال رشد یکنواخت واحدهای مختلف فراکتال را نشان می دهد اما سرعت رشد متفاوت در جهات مختلف (شکل 2 (b)). در یک فضای 2 بعدی ، یک الگوی فراکتالی خودآفین دو مقدار بعد فراکتال را تحمل می کند. یک شیء چند منظوره احتمال رشد مختلف واحدهای مختلف فراکتال را نشان می دهد (شکل 2 (c)). در یک فضای 2 بعدی ، یک الگوی چند منظوره دارای مقدار ابعاد فراکتال بی شمار است. در جایی که به مقادیر متوسط سطوح مختلف مربوط می شود ، سلسله مراتب رگ های خونی را می توان با قانون سه پارامتر ZIPF توصیف کرد ، که این نشان دهنده الگوهای یکپارچه است. در حقیقت ، مدل ZIPF سه پارامتر را می توان به اقدامات چند عاملی تعمیم داد [50]. مدل multifractalzipf می تواند در سلسله مراتب نامتقارن رگ های خونی در تجزیه و تحلیل تجربی اعمال شود. علاوه بر این ، بعد ZIPF سلسله مراتب خودی خود در واقع نسبت دو بعد فراکتال به جای متقابل یک بعد فراکتال است [25،30]. در فضا محدود است ، موضوعات مرتبط با آن هنوز در مطالعات آینده روشن می شودبشر

جدول 5. شباهت ها و تفاوت های بین فراکتال های خودی ، فراکتال های خودآفین و چند منظوره

قسمت

فراکتال های خودی

فراکتال های خود مقاصد

چند عیار

گسترش فضایی

ایزوتروپی یا ناهمسانگردی

احتمال رشد

الگو

تقارن یا عدم تقارن

دیافراگم

آ. ساختار شبیه خود ب. ساختار خودآفین C. Multifractal

شکل 2. نقشه های طرح از سه مدل فراکتال از سلسله مراتب رگ های خونی (چهار سطح اول)

توجه: برای ساختار فراکتال خودی ، نسبت مقیاس r است_l= 1/2 ؛ برای ساختار فراکتال خودآموز ، نسبت مقیاس R است_طولانی= 2/3 و R_کوتاه= 1/2 ؛برای ساختار چند عاملی ، نسبت مقیاس R است_طولانی= 3/5 و R_کوتاه= 1- R_طولانی= 2/5.

نتیجه گیری

توسعه ارگانیسم ها به محیط های جغرافیایی بستگی دارد ، و هم ارگانیسم ها و هم محیط های جغرافیایی آن از قوانین طبیعی مشابه مانند قوانین مقیاس بندی فضایی ، آلومتری و سلسله مراتبی پیروی می کنند. مطالعات در مورد قیاس بین موجودات و محیط های جغرافیایی برای ما آشکار می شود تا ساختار عمیق و پویایی پیچیده سیستم های طبیعی و اجتماعی را درک کنیم. تازگی این مقاله به شرح زیر است: اول ، مدل های سلسله مراتب رگ های خونی با استدلال ریاضی تهیه می شوند. دوم ، فرمول تخمین بعد از شباهت بر اساس طبقه بندی Strahler با تجزیه و تحلیل مقیاس بهبود می یابد. سوم ، قوانین مقیاس خطی سلسله مراتب رگ های خونی با قیاس با رودخانه ها و شهرها تعمیم می یابد. چهارم ، یک کشف جالب در مورد شباهت ها و تفاوت های بین انسان و سگ ها انجام شده است.

نکات اصلی این مطالعه را می توان به شرح زیر خلاصه کرد. اولین بار ، قیاس ساختار آبشار بین سلسله مراتب خودی رگ های خونی و شبکه فراکتال رودخانه ها وجود دارد. قیاس می تواند به شباهت بین سیستم های شهری و رگ خونی تعمیم یابدسلسله مراتبطول رگ خونی با طول رودخانه و اندازه جمعیت شهر ، حجم زهکشی رگ خونی مربوط به منطقه حوضه یک رودخانه و منطقه خدمات یک شهر مطابقت دارد ، و تعداد تقسیم رگ های خونی مربوط به شماره bifurcation است ورودخانه ها و تعداد شهر کلاس خاص. تمام این ساختارهای سلسله مراتبی را می توان با مجموعه ای از توابع نمایی توصیف کرد که نشانگر قوانین مقیاس گذاری خطی است ، که از آن یک سری از قوانین قدرت را نشان می دهد که نشان دهنده فراکتال ها یا آلومتری است. ثانیه ، ساختار عمیق یک سلسله مراتب رگ های خونی را می توان توصیف کرد.-قانون Zipf و قوانین مقیاس بندی آلومتری. در بالا ذکر شده ، سلسله مراتب رگ خونی را می توان با مجموعه ای از قوانین نمایی توصیف کرد. قوانین نمایی نمایانگر قوانین مقیاس گذاری خطی است ، که از آن می توانیم مجموعه ای از قوانین مقیاس گذاری غیرخطی مانند قانون سه پارامتر ZIPF و قوانین مقیاس گذاری آلومتری را به دست آوریم. قانون ZIPF سه پارامتر نشان دهنده خاصیت فراکتالی توزیع اندازه رگ های خونی است ، و قوانین مقیاس گذاری آلومتری نشان دهنده روابط بعد فراکتال بین طول رگ های خونی و رگ و همچنین حجم زهکشی رگ خونی است. پویایی پشت ساختار عمیق در آینده مورد بررسی قرار گرفته است. سوم ، مطالعات قیاس بین ساختار فراکتالی انسان و سایر پستانداران می تواند شباهت ها و تفاوت های بین انسان و حیوانات را نشان دهد. مقادیر ابعاد شباهت شریان های انسانی در محدوده منطقی قرار می گیرند و بین 2 تا 3 می آیند. موجودات و سگها (رفتار و محیط مختلف در طول تکامل؟) نتیجه گیری را می توان مطمئناً به سایر پدیده های فراکتال تعمیم داد: تجزیه و تحلیل فراکتال ممکن است ساختارهای آناتومیکی حیوانات را با قدرت تشخیص دهد ، و بعد فراکتال شباهت را در بین طبقات بسیار متفاوت اشیاء پیدا می کند.

تصدیق

این تحقیق به طور مالی توسط بنیاد ملی علوم طبیعی چین پشتیبانی شد (کمک هزینه شماره 41171129). پشتیبانی با قدردانی اذعان می شود.

منابع

1. Hamilton EI ، Minski MJ ، Cleary JJ (1973) غلظت و توزیع برخی از عناصر پایدار در بافت های سالم انسان از انگلستان: یک مطالعه محیطی. علم کل محیط 1: 341-374.
2. Woldenberg MJ (1968) سیستم های سلسله مراتبی: شهرها ، رودخانه ها ، یخچال های آلپ ، کبد گاو و درختان (پایان نامه دکتری). نیویورک: گروه جغرافیا ، دانشگاه کلمبیا.
3. Mandelbrot BB (1982) هندسه فراکتال طبیعت. نیویورک: W. H. Freeman and Company.
4. Batty M ، Longley PA (1994) شهرهای فراکتال: هندسه فرم و عملکرد. لندن: انتشارات دانشگاهی.
5. MacDonald N (1983) درختان و شبکه ها در مدلهای بیولوژیکی. شیچستر ، انگلیس: جان ویلی و پسران.
6. نلسون TR ، منچستر DK (1988) مدل سازی مورفوژنز ریه با استفاده از هندسه های فراکتال. IEEE Trans Med Imaging 7: 321-327.[Crossref]
7. چن YG ، لی BL (2003). مطالعات مربوط به ترکیب شبکه فراکتال رودخانه ها در استان جیلین ، چین. پیشرفت در علوم زمین ، 18 (2): 178-184 [به زبان چینی].
8. Labarbera P ، Rosso R (1989) در بعد فراکتال شبکه های جریان. تحقیقات منابع آب 25: 735-741.
9. Rodriguez-Iturbe I ، Rinaldo A (2001) حوضه رودخانه فراکتال: شانس و سازماندهی خود. نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج.
10. Turcotte DL (1997) فراکتال ها و هرج و مرج در زمین شناسی و ژئوفیزیک (2ndedn) ، کمبریج ، انگلیس: انتشارات دانشگاه کمبریج.
11. Horton Re (1945) توسعه فرسایش جریان ها و حوضه های زهکشی: رویکرد هیدروفیزیکی به مورفولوژی کمی. بولتن انجمن زمین شناسی آمریکا 56: 275-370.
12. تجزیه و تحلیل Hypsometric (ارتفاع منطقه) از توپوگرافی فرسایش. انجمن زمین شناسی بولتن آمریکایی 63: 1117-1142.
13. Schumm SA (1956) تکامل سیستم های زهکشی و دامنه های Badlands در پرت Amboy ، نیوجرسی. بولتن انجمن زمین شناسی آمریکا 67: 597-646.
14. Hack JT (1957) مطالعات پروفایل جریان های طولی در ویرجینیا و مریلند. بررسی زمین شناسی ایالات متحده. مقالات حرفه ای B 294: 45-97.
15. چن YG ، لیو JS (2001) فراکتال ها و ابعاد فراکتال ساختار سیستم های رودخانه. پیشرفت در علوم زمین 16: 178-183 [به زبان چینی].
16. Finet G ، Gilard M ، Perrenot B ، Rioufol G ، Motreff P ، et al.(2007) هندسه فراکتال از bifurcations عروق کرونر: یک آنژیوگرافی کرونر کمی و تجزیه و تحلیل سونوگرافی داخل عروقی. مداخله یورو 3: 490-498.
17. Jiang ZL، He GC (1989) مورفولوژی هندسی عروق کرونر انسان. مجله سومین دانشگاه پزشکی نظامی 11: 85-91 [به زبان چینی].
18. Jiang ZL، He GC (1990) مورفولوژی هندسی عروق کرونر در سگ. مجله چینی آناتومی 13: 236-241 [به زبان چینی].
19. لی ام اچ، یانگ دی جی، ژانگ جی اس (1992) مطالعات بر روی فراکتال ها در زیست پزشکی (شنگ وو یی زو ژونگ د فن شینگ یان جیو). مجله طبیعت 15: 59 2-596 [به زبان چینی].
20. Wang P، Mou XQ، Hou CJ، YuanlongCai YL (2001) شبیه سازی فراکتال شریان های کرونر بر اساس قانون پایه دو شاخه. Proceedings SPIE 4553. Visualization and Optimization Techniques 157.
21. Ying DJ, Ho GT (He GT), Zhang ZZ (1993) مورفومتر کمی درخت شریانی کبدی در سگ. مجله مهندسی زیست پزشکی 10: 78-83 [به زبان چینی]
22. چن YG (2008) سیستم های شهری فراکتال: مقیاس بندی، تقارن و پیچیدگی فضایی. پکن: انتشارات علمی [به زبان چینی].
23. چن Y (2011) مدل سازی ساختار فراکتالی توزیع های اندازه شهر با استفاده از توابع همبستگی. PLoS One 6: e24791.[تقاطع]
24. Chen YG (2012) رابطه ریاضی بین قانون Zipf و قانون مقیاس بندی سلسله مراتبی. فیزیک الف: مکانیک آماری و کاربردهای آن 391: 3285-3299.
25. Chen YG (2014) معنای فضایی مقیاس مقیاس پارتو از توزیع های اندازه شهر. فراکتال 22: 1450001.
26. Chen YG، Zhou YX (2003) قانون اندازه رتبه و سلسله مراتب فراکتال شهرها: مدل های ریاضی و تحلیل های تجربی. محیط و برنامه ریزی ب: برنامه ریزی و طراحی 30: 799-818.
27. Jiang B، Yao XB (2010 eds.) تحلیل جغرافیایی و مدلسازی ساختار شهری و دینامیک. نیویورک: اسپرینگر.
28. Pumain D (2006 ed) سلسله مراتب در علوم طبیعی و اجتماعی. دوردرخت: اسپرینگر.
29. چن YG (2009) قیاس بین سلسله مراتب شهری و شبکه های رودخانه: فراکتال ها، تقارن، و انتقاد خود سازمان یافته. آشوب، سالیتون و فراکتال 40: 1766-1778.
30. Chen YG، Zhou YX (2006) تفسیر مجدد شبکه های مکان مرکزی با استفاده از ایده های فراکتال ها و انتقاد خود سازمان یافته. محیط و برنامه ریزی ب: برنامه ریزی و طراحی 33: 345-364.
31. کروگمن پی (1996) مواجهه با رمز و راز سلسله مراتب شهری. مجله اقتصاد ژاپن و بین المللی 10: 399-418.
32. Woldenberg MJ، Berry BJL (1967) رودخانه ها و مکان های مرکزی: سیستم های مشابه؟مجله علوم منطقه ای 7: 129-139.
33. لی تی دی (1999) هنر و علم (Yi Shu Yu KeXue). هانگژو: انتشارات ادبیات و هنر ژجیانگ [ویرایش H. Z. لیو در چینی].
34. ویلیامز جی پی (1997) تئوری آشوب رام شد. واشنگتن دی سی: مطبوعات جوزف هنری.
35. تامپسون DW (1917) در مورد رشد و فرم. کمبریج ، انگلیس: انتشارات دانشگاه کمبریج (چاپ شده در سال 1959).
36. GABAIX X ، IBRAGIMOV R (2011) رتبه 1/2: یک روش ساده برای بهبود برآورد OLS از نمایندگی های دم. مجله آمار تجارت و اقتصادی 29: 24-39.
37. Gell-Ma M (1994) کوارک و جگوار: ماجراهای در ساده و پیچیده. نیویورک ، نیویورک: W. H. فریمن
38. Winiwarter P (1983) مدل Genesis - بخش II: توزیع فرکانس عناصر در سیستم های خود سازمان یافته. گمانه زنی ها در علم و فناوری 6: 103-112.
39. Feder J (1988) Fractals. نیویورک: Plenum Press.
40. Takayasu H (1990) Fractals در علوم فیزیکی. منچستر: انتشارات دانشگاه منچستر.
41. Bak P (1996) چگونه طبیعت کار می کند: علم انتقاد خود سازمان یافته. نیویورک: Springer-Verlag.
42. کارول C (1982) توزیع ملی در اندازه شهر: بعد از 67 سال تحقیق چه می دانیم؟پیشرفت در جغرافیای انسانی 6: 1-43.
43. Gabaix X ، Ioaides YM (2004) تکامل توزیع اندازه شهر. در: کتابچه راهنمای اقتصاد شهری و منطقه ای ، دوره 4 (فصل 53). هندرسون JV ، Thisse JF (Eds.) ، آمستردام: شرکت انتشارات هلند شمالی ، 2341-2378.
44. ژو YX (1995) جغرافیای شهری. پکن: انتشارات شانگو [به زبان چینی].
45. Strahler AN (1958) تجزیه و تحلیل ابعادی اعمال شده برای شکل زمین فرسایش یافته. انجمن زمین شناسی بولتن آمریکا 69: 279-300.
46. چن YG (1995) مطالعات در مورد سیستم های فراکتال شهرها و شهرها در دشتهای مرکزی چین (پایان نامه کارشناسی ارشد). چانگچون: گروه جغرافیا ، دانشگاه عادی شمال شرقی [به زبان چینی].
47. Frankhauser P (1994) La Fractalite des ساختار Urbaines. پاریس: اقتصادیکا.
48. Mainzer K (1994) تفکر در پیچیدگی: پویایی پیچیده ماده ، ذهن و بشر. برلین: Springer-Verlag.
49. Chen YG ، Zhou YX (2004) اقدامات چند فرکانس توزیع اندازه شهر بر اساس مدل ZIPF سه پارامتر. هرج و مرج ، سولیتون و فراکتال 22: 793-805
50. Zipf GK (1949) رفتار انسان و اصل کمترین تلاش. خواندن ، MA: Addiso n-Wesley.

اطلاعات تحریریه

سردبیر

دانشگاه Bianciardi Giorgio دانشگاه Siena