دنباله فیبوناچی یکی از پایه های دنیای ریاضیات است. فیبوناچی در ابتدا این دنباله را به منظور مدل سازی جمعیت خرگوش ها ارائه کرد. در حقیقت، خرگوش ها به این شکل زاد و ولد نمی کنند، اما فیبوناچی همچنان به طلا ضربه می زند. این دنباله دارای ویژگی های ریاضی بسیار زیبایی است که مجله مخصوص به خود را دارد - پیوند.

قبل از اینکه به فرمول بینه برویم - اجازه دهید نگاهی به دنباله فیبوناچی بیندازیم: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144…

متوجه می شویم که هر عبارت مجموع دو مورد قبل از خود است، بنابراین می توانیم دنباله فیبوناچی را به صورت بازگشتی تعریف کنیم:

محدودیت های این فرمول این است که برای اینکه بدانید عدد فیبوناچی هشتم چیست، باید بفهمید که عدد فیبوناچی هفتم و ششم چیست که به عدد فیبوناچی 5 و 4 نیاز دارد و تا زمانی که به 0 و 1 برسید ادامه دهید. بنابراین، ژاک فیلیپ ماری بینه با هدف دستیابی به فرمولی، که برای آن می توانید 8 را وصل کنید و بدون دانستن اعداد قبل از آن، هشتمین عدد فیبوناچی را به دست آورید، دست به کار شد.

بینش

هدف من از این مقاله این است که توضیح دهم که چگونه هر یک از ما می تواند به طور منطقی به این موضوع دست پیدا کند. بنابراین، اجازه دهید با تلاش برای طبقه بندی این دنباله شروع کنیم. دو دنباله متداول عبارتند از - حسابی و هندسی.

اکنون می توانیم فوراً آن را به عنوان یک سری حسابی رد صلاحیت کنیم زیرا تفاوت بین عبارت های مجاور به شدت در حال افزایش است. حال برای اینکه ببینیم دنباله هندسی است یا نه، باید عبارات بعدی را تقسیم کنیم تا ببینیم آیا نسبت مشترکی وجود دارد یا خیر. بیایید به جدول نسبت ها نگاهی بیندازیم-

اگرچه نسبت های عبارت های فیبوناچی بعدی برابر نیستند، اما با افزایش n، به نظر می رسد این نسبت به 1. 618033988 همگرا می شود.

دنباله هندسی "اصلاح شده".

در این مرحله، ما می دانیم که این یک دنباله هندسی معمولی نیست، اما هر چه بیشتر به دنباله برویم، هندسی آن بیشتر می شود. در حال حاضر، اجازه دهید آن را مانند یک دنباله هندسی در نظر بگیریم و معادله ای را برای حل نسبت مشترک تنظیم کنیم. این به ما اجازه می دهد تا به تعریف F(n)=kⁿ برسیم. با داشتن این دانش، تعریف بازگشتی را به یک معادله چند جمله ای تبدیل کنید. شروع می کنیم با

از آنجایی که k≠0، می توانیم هر دو طرف را بر kⁿ تقسیم کنیم.

این معادله درجه دوم به عنوان یک معادله مشخصه شناخته می شود و در موضوعات مختلف ریاضی مانند معادلات دیفرانسیل استفاده می شود. این معادله در نهایت با استفاده از فرمول درجه دوم قابل حل است و به دست می آید:

نگاهی دقیق تر

وجود دو ریشه یک دلیل معتبر برای اینکه چرا هیچ نسبت مشترکی بین چند اصطلاح اول وجود ندارد ، ارائه می دهد. بنابراین ، ما به معادله پایان می دهیم:

جایی که A و B ثابت هستند.

اگر دو مقدار مختلف از n = 0 و n = 1 وصل کنیم و برای A و B حل کنیم ، دریافت می کنیم:

ولاما سرانجام به معادله Binet برای شماره های فیبوناچی رسیدیم.

بررسی روده

بگذارید این معادله را به چند قسمت تقسیم کنیم.

G (n) اصلی ترین نیروی محرک معادله است. E (n) G (n) را تمیز می کند و خروجی عدد صحیح را فراهم می کند. بگذارید به چند نمونه نگاهی بیندازیم:

بگذارید مقداری مقدار وصل کنیم تا ببینیم این معادله چگونه کار می کند.

از این طریق می توانیم ببینیم که G (n) مقدار تقریبی را در 1 از پاسخ واقعی فراهم می کند ، و E (n) مانند یک عملکرد عدد صحیح عمل می کند ، که از قسمت کسری G (n) خلاص می شود.

اگر می خواستم فرمول بینه را خلاصه کنم ، آن را به عنوان ضرب و شتم یک بازگشت همیشگی توصیف می کردم.

من در مورد چگونگی ارتباط این موضوع با نسبت طلایی و فرمول های مرتب تر مربوط به دنباله فیبوناچی بیشتر خواهم نوشت. در حال حاضر ، خداحافظ

به روز رسانی:

من دو مقاله دیگر در مورد دنباله فیبوناچی نوشتم ، در صورت تمایل آنها را بررسی کنید: