ضریب همبستگی ρ

ضریب همبستگی ρxy اندازه گیری را ارائه می دهد که چگونه پیش بینی خطی از مقدار یکی از دو متغیر تصادفی می تواند بر اساس یک مقدار مشاهده شده از دیگری شکل بگیرد.

اصطلاحات مرتبط:

• آمار
• فاصله اطمینان
• همسایه
• متغیر تصادفی
• طرح پراکنده

درباره این صفحه

کاهش داده ها و انتشار خطاها

16. 2. 3 ضریب همبستگی و کواریانس

ضریب همبستگی یک اندازه گیری عینی از نزدیکی مناسب بودن مربعات است. برای حداقل مربعات خطی ، ضریب همبستگی توسط تعریف شده است

(16. 41)

جایی که s x ، s y ، s xy و s x 2 تعریف شده اند و کجا

(16. 42) s y 2 = ∑ i = 1 n y i 2.

اگر نقاط داده دقیقاً در خط حداقل مربعات قرار داشته باشند ، اگر شیب مثبت باشد یا اگر شیب منفی باشد ، ضریب همبستگی برابر با 1 خواهد بود. مربع ضریب همبستگی معمولاً گزارش می شود. اگر نقاط داده به طور تصادفی در مورد نمودار پراکنده شوند به طوری که حداقل خط مربع یافت نشد ، ضریب همبستگی برابر با صفر خواهد بود. در یک تناسب نسبتاً نزدیک ، مربع ضریب همبستگی ممکن است برابر با 0. 98 یا 0. 99 باشد.

مثال 16. 6

ضرایب همبستگی را برای سه متناسب خطی در مثال قبلی محاسبه کنید.

استفاده از Eq.(16. 41) نتایج را ارائه می دهد:

برای تناسب مرتبه اول ، R = . 0. 9997.

برای تناسب مرتبه دوم ، R = 0. 9779.

برای تناسب مرتبه سوم ، R = 0. 9257.

تناسب مرتبه اول بهترین است.

ضریب همبستگی مربوط به مقداری به نام کواریانس است که توسط 7 تعریف شده است

(16. 43) s x ، y = 1 n - 1 ∑ i - 1 n (x i - 〈x〉) (y i - 〈y〉) (تعریف)

جایی که 〈x〉 میانگین مقدار x s است ،

(16. 44) 〈x〉 = 1 n s x ،

و جایی که 〈y〉 میانگین مقدار y s است ،

(16. 45) 〈y〉 = 1 n s y.

کواریانس همان رفتار کلی را با ضریب همبستگی دارد. بزرگی بزرگتر نشان دهنده تناسب نزدیک تر است. اگر مقادیر بزرگ x با مقادیر اندک Y اتفاق بیفتد ، کواریانس منفی خواهد بود و اگر مقادیر بزرگ x با مقادیر بزرگ Y رخ دهد ، کواریانس مثبت خواهد بود. اگر بین x و y رابطه ای وجود نداشته باشد ، کواریانس با صفر برابر خواهد بود

مثال 16. 7

کواریانس را برای جفت های سفارش داده شده زیر محاسبه کنید:

〈x〉 = 2. 00 ، 〈y = 1. 00 ، s x ، y = 1 4 (4. 00 + 1. 00 + 0. 00 + 1. 00 + 4. 00) = 10. 00 4 = 2. 500. این جفت ها با یک تناسب خطی با ضریب همبستگی مربع برابر با 1. 000 مطابقت دارند.

ورزش 16. 5

کواریانس را برای جفت های سفارش داده شده زیر محاسبه کنید:

URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/b9780124158092000161

رگرسیون و همبستگی

نام همبستگی

ضریب همبستگی بین دو متغیر مداوم ، که اغلب به آن همبستگی پیرسون گفته می شود ، توسط فرانسیس گالتون سرچشمه گرفته است. کارل پیرسون ، آماری بریتانیایی (که اتفاقاً به گالتون اعتبار می دهد) ، به همراه فرانسیس Edgeworth و دیگران ، کارهای زیادی را در زمینه توسعه این شکل از ضریب همبستگی انجام دادند. نام دیگر این ضریب که گاهی اوقات دیده می شود ، همبستگی محصول لحظه ای است. لحظات موجودات ریاضی مربوط به توصیف کننده هایی هستند که ما از آنها استفاده می کنیم ، مانند میانگین (لحظه اول) و واریانس (لحظه دوم در مورد لحظه اول). لحظاتی که با استفاده از محصول x و y حاصل می شوند ، لحظه های محصول نامیده می شوند. کواریانس مورد استفاده در محاسبه ضریب همبستگی نوعی یک لحظه محصول است. این نام ها واقعاً ضروری نیستند ، مگر در زمینه تمایز ضرایب همبستگی مبتنی بر متغیرهای مداوم از موارد مبتنی بر رده ها یا دسته ها. ضریب همبستگی رتبه برای اولین بار توسط C. E. Spearman ، که همچنین فرمول را ساده کرد ، نوشته شده است. اشتراک S (برای Spearman) برای نشان دادن این فرم به جمعیت ρ یا نمونه R وصل شده است.(در اوایل قرن بیستم ، قبل از کنوانسیون استفاده از حروف یونانی برای نمادهای جمعیتی و رومی برای نمونه استاندارد ، ρ گاهی اوقات برای ضریب Spearman استفاده می شد ؛ اگر با آن روبرو شدید ، آن را به عنوان یک باقیمانده تاریخی در نظر بگیرید.)از همبستگی برای متغیرهای طبقه بندی شده ، ضریب همبستگی تتراکوری ، در پایان بخش 5. 2 مورد بررسی قرار گرفت و خواننده ممکن است آن را در اینجا مرور کند.

URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/b9780123848642000214

دفترچه راهنمای سیستم های دینامیکی

Anatole Katok ، Jean-Paul Thounot ، در کتابچه راهنمای سیستم های دینامیکی ، 2006

اظهار

ضرایب همبستگی را می توان به عنوان تبدیل فوریه از اندازه گیری مشاهده کرد. یادآوری این نکته مفید است که تبدیل فوریه خطی است و محصول تبدیل فوریه با همبستگی اقدامات مطابقت دارد. در نظریه ارگودیک ، پیچش در ارتباط با تکثیر توابع در مطالعه محصولات دکارتی (بخش 4. 1. 3) و همچنین در شرایطی که ساختار ضرب به خوبی با تصویر طیفی ، مانند طیف نقطه خالص ارتباط دارد ، ظاهر می شود (بخش 3. 5 را ببینید)، سیستم های گاوسی (بخش 6. 4. 1) و سیستم های کرونکر گاوسی (بخش 6. 4. 3).

برای بازنمایی U ν ، m فضای چرخه ای که توسط یک تابع φ تعیین می شود ، از کلیه توابع تشکیل شده است که مقادیر آنها متناسب با روشهای φ است. این به معنای ν است_φ= | φ |2 ν و از این رو

URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/s1874575x06800366

ارتباط و توافق نامه

26. 3 همبستگی به عنوان انجمن

همبستگی داده های مداوم یا مرتبه ای

ضرایب همبستگی ، در فصل 5 رعایت شده و در بخش های 21. 7-8 به طور کامل درمان می شوند ، آماری هستند که برای توصیف شباهت الگوهای بین دو متغیر استفاده می شود ، مثلاً x و y.

هنگامی که X و Y مداوم هستند ، آمار همبستگی پیرسون برای یک نمونه ، با مشخصات R ، در Eq تعریف شد.(21. 19) به عنوان کواریانس تقسیم بر محصول انحرافات استاندارد:

(26. 5) r = s x y s x s y.

هنگامی که X و Y در رده ها قرار دارند ، ضریب همبستگی رتبه معادل آن به عنوان Eq داده شد.(21. 20) ،

(26. 6) r s = 1 - 6 σ d i 2 n (n 2 - 1) ،

بدون پیوند ، جایی که D_منتفاوت بین اعضای جفت رتبه اول و N ، اندازه نمونه را نشان می دهد.

برخی از ارائه ها از ρ برای نشان دادن r استفاده می کنند_حرف؛دیگران از ρ برای نشان دادن ضریب همبستگی تتراکوری استفاده می کنند_حرفبشردر این کتاب ، از نامه یونانی ρ برای نشان دادن ضرایب همبستگی نظری یا جمعیتی استفاده شده است و نامه های رومی را برای نشان دادن ضرایب نمونه ترک می کند. زیر مجموعه در r_حرفسرمربی افتخارات چارلز اسپرمن 135.

شکل دیگری از ضریب همبستگی رتبه ، τ کندال وجود دارد. حرف_حرفو τ از مقیاس های مختلف استفاده می کند و بنابراین مقادیر کمی متفاوت از ضریب را به همراه دارد. در حالی که ضریب کندال تعبیر معنی داری دارد ، محاسبه Spearman ساده تر است و بنابراین بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد.

τ کندال ناشی از شمارش و اختلافات ، تا حدودی شبیه به آمار γ است. بگذارید با دو ستون از رده بندی زوج شروع کنیم. 1 را به ترتیب در حال افزایش قرار دهید تا در نتیجه x_حرفو y_حرف، ایکس_حرف1، 2، 3، … است. برچسب های الفبای A، B، C، … را به y وصل کنید_حرفاز بالا به پایین سفارش دادمعادله(3. 8) به ما می گوید که ما n ( n - 1)/2 جفت حروف ممکن داریم. فهرستی از این جفت ها، AB، AC، …، BC، BD، … تهیه کنید. 1 یا 1 را در کنار هر جفت ثبت کنید به طوری که اگر رتبه ها، یعنی y_حرفمقادیر، افزایشی از عضو 1 جفت به 2 را نشان می دهد، 1 را ثبت می کند و اگر کاهش نشان می دهد، −1 را ثبت می کند. عدد 1 تعداد تطابق C و عدد 1- تعداد ناسازگاری D است.

ضریب همبستگی τ تفاوت بین همخوانی های C و ناهماهنگی D تقسیم بر تعداد جفت ها یا

(26. 7) τ = 2 (C - D) n (n - 1).

در حالی که محاسبه τ دشوارتر از r است_حرف، اکنون یک تفسیر ساده و بسیار مفید در دسترس داریم: نسبت شانس تطابق به ناهماهنگی (احتمال ارتباط مثبت به ارتباط منفی) C / D است.

مثال: فاصله هاپ بین پاهای آسیب دیده و سالم

به عنوان مثال، اجازه دهید ضرایب همبستگی بین n = 8 مسافت تحت پوشش رازک روی پایی که تحت عمل جراحی همسترینگ یا چهار سر ران قرار گرفته در مقابل پای سالم در DB10 در نظر بگیریم. با رتبه بندی ستون پای عمل شده و اضافه کردن رتبه ها، جدول 26. 3 را به دست می آوریم.

جدول 26. 3. فاصله (سانتی متر) پرش توسط 8 بیمار روی پای پس از عمل (Op) و پای سالم (غیر جراحی) (غیر جراحی)، رتبه بندی شده توسط Op، با رتبه های مرتبط برای هر ستون. برچسب هایی برای شمارش تطابق ها و ناسازگاری ها نشان داده شده است

محاسبات ضریب همبستگی پیرسون r با استفاده از معادله(26. 5)، عبارتند از: s_op= 91. 74، s_غیر= 61. 48، s_{op، نه}= 5539. 75، r = 0. 982. فاصله ها بسیار همبستگی دارند. معادله(26. 6) برای ضریب همبستگی رتبه اسپیرمن r را می دهد_حرف= 1 − 6 × 2/8 (8 2 − 1) = 0. 976. ضریب رتبه به همین ترتیب بالاست. برای یافتن τ کندال، تعداد همخوانی ها (C) و ناسازگاری ها (D) را می شماریم. با رفتن از A به B، NonopRanks از 1 به 2 می رسد. همانطور که این افزایش می یابد، ما یک همخوانی 1 را حساب می کنیم. از A به C، رتبه ها از 1 به 3 می رود، همچنین افزایش می یابد. یک همخوانی 2 را اضافه می کنیم. ما به این روش از A تا H ادامه می دهیم، سپس از B به C و غیره شروع می کنیم. در واقع، از بررسی می بینیم که فقط 1 جفت - F تا G - کاهش می یابد، بنابراین D = 1. 1 را از اندازه نمونه کم می کنیم. n = 8 (8 - 1)/2 = 28 C را به عنوان 27 می دهد. از معادله.(26. 7)، τ = (27-1)/28 = 0. 929. این نتیجه کمتر از r است_حرف، اما هنوز هم بسیار زیاد است. علاوه بر ارزش τ ، می توانیم نسبت شانس را به عنوان یا = c / d = 27 بدست آوریم. پای عمل شده

ما توجه می کنیم که سطح بالای ارتباط همبستگی خود را به تفسیر آسان می بخشد. دو نظر به ترتیب است.

اول ، ما شاهد همبستگی بالایی بین اجراهای پا هستیم. آیا این بدان معنی است که دانش یک عملکرد تقریباً به ما می گوید دیگری چیست؟اصلا. توجه داشته باشیم که میانگین مسافت 453 سانتی متر در پای عمل شده و 514 سانتی متر از طرف دیگر کاملاً اختلاف نظر است. ضریب همبستگی به ما می گوید که الگوهای رفتار مشابه هستند ، نه مقادیر واقعی.

دوم ، اگر ضرایب رتبه به ترتیب 0. 50 بوده است ، (دلالت بر C در حدود 21 و D حدود 7) ، ممکن است کاربر از این سؤال کند که آیا این نسبت به مطلوب بودن زیاد یا پایین است. تفسیر به همان اندازه ساده نبود. در این حالت ، OR = 21/7 = 3. می توانیم بگوییم که توافق بین اجراهای رتبه در یک پا عمل شده و یک پا غیر عملیاتی نسبت به اختلاف نظر 3 به 1 خواهد بود. این به ما در ارزیابی اهمیت ضریب همبستگی 0. 50 کمک می کند.

تمرین 26. 5. از DB10 ، از زمان برای انجام هاپ ها به جای فاصله استفاده کنید و R ، R را محاسبه کنید_حرف، τ ، و OR.

URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/b9780123848642000263

آمار ضروری برای تجزیه و تحلیل داده ها

9. 8 همبستگی

در آمار تکنیک های مختلفی وجود دارد که می تواند برای تعیین چگونگی ارتباط یک مجموعه داده با دیگری استفاده شود. اصطلاح خاص مورد استفاده برای تعیین چنین ارتباط ، تجزیه و تحلیل همبستگی است. نمونه ای که چنین تحلیلی مفید خواهد بود این است که ببینیم چگونه تغییر در جریان نشت یک ردیاب سیلیکون با افزایش تابش جذب شده در ارتباط است.

اندازه گیری همبستگی ، مهم نیست که از چه تکنیکی استفاده می شود ، همیشه بین 1 و 1 +قرار دارد. ضریب همبستگی 1+ همبستگی کامل را نشان می دهد ، در حالی که یک مقدار −1 نشان می دهد که داده ها با همبستگی منفی دارند. توجه داشته باشید که همبستگی منفی در واقع به معنای ضد همبستگی است. یعنی اگر یک متغیر در حال افزایش باشد ، دیگری در حال کاهش است اما به روشی کاملاً همبسته. ضریب همبستگی 0 نشان دهنده هیچ ارتباطی نیست.

اگرچه چندین تکنیک برای تعیین همبستگی استفاده می شود ، اما متداول ترین تکنیک به اصطلاح Pearson R یا همبستگی خطی ساده است. بنابراین ما خود را به این روش همبستگی محدود خواهیم کرد.

9. 8. A Pearson R یا همبستگی خطی ساده

در اصل ، همبستگی خطی ساده میزان تناسب بین دو متغیر را تعیین می کند. تناسب از طریق ضریب همبستگی اندازه گیری می شود ، که مربوط به تناسب رگرسیون داده ها است. ضریب همبستگی دارای چندین شکل معادل است اما به راحتی از رابطه تعیین می شود

.

جایی که جمع بندی بیش از کل مجموعه داده های متعلق به متغیرهای X و Y است.

روش تفسیر همبستگی قبلاً مورد بحث قرار گرفته است. شکل 9. 8. 1 چند نمونه از رگرسیون متناسب با مجموعه داده های مختلف و ضرایب همبستگی مربوطه را نشان می دهد.

مثال:

داده های زیر در یک آزمایش به دست می آید.

x = <102 , 154 , 200 , 220 , 267 , 263 , 352 , 361 , 423 , 449 , 512 , 598 , 601 , 701 , 711>y = <28 , 98 , 132 , 98 , 129 , 202 , 265 , 243 , 291 , 324 , 376 , 412 , 524 , 511 , 560>.

تعیین کنید که آیا داده ها به خوبی همبستگی دارند یا خیر.

راه حل:

یک طرح از داده ها به همراه تناسب رگرسیون در شکل 9. 8. 2 نشان داده شده است. بدیهی است که داده ها به خوبی همبستگی دارند. برای تعیین کمیت اعتماد به نفس ما ضریب همبستگی را محاسبه می کنیم. برای این کار می توانیم از Eq استفاده کنیم.(9. 8. 1) برای محاسبه ضریب همبستگی. برای ساده سازی محاسبات ، ما یک جدول با اصطلاحات مورد نیاز محاسبه شده به صورت جداگانه ایجاد می کنیم. ضریب همبستگی پس از آن توسط

r = (15) (2113232) - (5914) (4193) [(15) (2875604) - (5914) 2] [(15) (1574209) - (4193) 2] = 0. 98.

از این رو ، با اطمینان زیاد می توانیم بگوییم که متغیرها به خوبی همبسته هستند (جدول 9. 8. 1).

جدول 9. 8. 1. پارامترهای محاسبه ضریب همبستگی برای مثال بالا

ردیف آخر جمع هر ستون است.

URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/b9780128013632000097

فاصله اطمینان

مثال تکمیل شده: CI در رابطه بین سن و خم شدن پلانتار

ضریب همبستگی بین حداکثر زاویه خم شدن پلانتار و سن برای 19 بیمار 1945/0 بود. Eq(7. 15) وقتی به قطعات شکسته می شود چندان مرعوب کننده نیست: 1+ r = 1. 1945 ، 1− r = 0. 8055 ، n −3 = 16 و 16 = 4. برای اعتماد به نفس 95 ٪ ، Z_{1− α /2}= 1. 96. نمایانگر E 9/1 × 2 × 98 ± 0. 98 ± خواهد بود. با جایگزینی این مؤلفه ها در Eq.(7. 15) ، ارتوپدی پیدا می کند

P [1 + r - (1 - r) E 2 Z 1 - α / 2 N - 3 1 + R + (1 - R) E 2 Z 1 - α / 2 N - 3<ρ <1 + r - ( 1 - r ) e - 2 z 1 - α / 2 n - 3 1 + r + ( 1 - r ) e 2 z 1 - α / 2 n - 3 ] = P [ 1.1945 - 0.8055 × e 0.98 1.1945 + 0.8055 × e 0.98 <ρ <1.1945 - 0.8055 × e - 0.98 1.1945 + 0.8055 × e - 0.98 ] = P [ - 0.2849 <ρ <0.5961 ] = 0.95

از آنجا که ضریب همبستگی جمعیت ممکن است در هر جایی از حدود 0. 28 تا 0. 0. 60 باشد (فاصله اطمینان از صفر عبور می کند) ، ارتوپدی نتیجه می گیرد که سن نشان داده نشده است که تأثیر دارد.

URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/b9780123848642007x

در مورد هماهنگ سازی سیستم های فشار خون در زمان غیر شناسایی: به سمت انتقال تصویر پزشکی ایمن

پیوست B [54]

ضریب همبستگی پیکسل های مجاور r_{P ، C}از هر جفت با توجه به فرمول های زیر محاسبه می شود. P (I ، J) و C (I ، J) مقادیر خاکستری پیکسل ساده و رمزگذاری شده هستند. E (P) ، E (C) ، D (P) و D (C) انتظار ریاضی پیکسل های ساده P (I ، J) ، انتظار ریاضی پیکسل های رمزنگاری C (I ، J) ، واریانس پیکسل های ساده P (I ، J) و واریانس پیکسل های Cipher C (I ، J).

(36) e p = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n p i j m × n ، e c = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c i j m × n (37) d p = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n p i j - e p 2 m × n (38) cov p c = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n p i j - e p c i j - e c m × n (39) R P ، C = Cov P C D P D C URL: https://www. scienceirect. com/science/article/pii/b9780128158388000169

وابستگی

3. 1 مقدمه

وابستگی یک مفهوم اساسی در آمار است. در این فصل ، ما از اقدامات و آزمایش های وابستگی موجود برای استقلال آماری نظرسنجی می کنیم. ما این کار را تا حدودی انجام می دهیم تا درمان بعدی خود با همبستگی محلی گاوسی را در چشم انداز قرار دهیم و بخشی از آن برای بررسی سایر پیشرفت های اخیر در مدل سازی وابستگی. در این زمینه پیشرفت مهمی در چند دهه گذشته شاهد بوده است ، کمترین در مدل سازی وابستگی غیرخطی با استفاده از عملکرد کواریانس فاصله و همچنین تکنیک های مرتبط در جامعه یادگیری ماشین مانند اندازه گیری HSIC. مطالب موجود در این فصل تا حد زیادی بر اساس Tjøstheim و همکاران است.(2021).

مدل سازی وابستگی آماری با معرفی به اصطلاح همبستگی لحظه محصول پیرسون ρ بیش از 100 سال پیش آغاز شد. اگر x و y دو متغیر تصادفی با لحظات دوم محدود هستند ، آنگاه همبستگی لحظه محصول توسط تعریف می شود

ρ = ρ (x ، y) = σ (x ، y) σ x σ y

با σ (x ، y) = e<( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) )>کواریانس بین x و y و با σ x = σ x 2 = e (x - e (x)) 2 انحراف استاندارد برای x است و به طور مشابه برای σ y. مقادیر بین و از جمله −1 و 1+ طول می کشد. برای یک مجموعه معین از جفت مشاهدات (x 1 ، y 1) ،… ، (x n ، y n) x و y ، تخمین ρ

(3. 1) r = ρ ˆ = ∑ j = 1 n (x j - x ‾) (y j - y ‾) ∑ j = 1 n (x j - x ‾) 2 ∑ j = 1 n (y j - y‾) 2

با x ‾ = 1 n ∑ j = 1 n x j ، و به طور مشابه برای y. قوام و نرمال بودن بدون علامت تخمین (3. 1) را می توان با استفاده از قانون با تعداد زیاد و یک استدلال محدودیت اصلی اثبات کرد.

در یک یادداشت تاریخی ، ممکن است اظهار داشته باشیم که ρ پیرسون ، همبستگی لحظه محصول ، توسط پیرسون اختراع نشده است ، بلکه توسط فرانسیس گالتون است. گالتون ، پسر عموی چارلز داروین ، در مطالعات ارثی خود به اندازه گیری ارتباط نیاز داشت. به گالتون (1888 ، 1890) مراجعه کنید. این در یک نمودار پراکنده و زمینه رگرسیون تدوین شد ، و او نامه R (برای رگرسیون) را به عنوان سمبل اندازه گیری ارتباط خود انتخاب کرد. پیرسون (1896) پیشرفت دقیق ریاضی را ارائه داد و از ρ به عنوان نمادی برای ارزش جمعیت و R برای ارزش تخمینی آن استفاده کرد. همبستگی لحظه محصول اکنون به عنوان ρ پیرسون از آن یاد می شود. گالتون در سال 1911 درگذشت و کارل پیرسون زندگینامه وی شد و در نتیجه زندگینامه عظیم 4 جلدی به دست آورد. به پیرسون (1922 ، 1930) مراجعه کنید. همه اینها و موارد دیگر توسط استیگلر (1989) و استنتون (2001) به تفصیل شرح داده شده است. برخی دیگر از منابع تاریخی مربوطه عبارتند از: فیشر (1915 ، 1921) ، فون نویمان (1941 ، 1942) و مقاله نظرسنجی توسط کینگ (1987).

ضریب همبستگی ρ ، و احتمالاً هنوز هم بیشترین اندازه گیری برای ارتباط آماری بوده است ، و به طور کلی به عنوان اندازه گیری وابستگی ، نه تنها در آمار بلکه در بیشتر کاربردهای آمار به علوم طبیعی و اجتماعی پذیرفته می شود. دلایل مختلفی برای این امر وجود دارد.

محاسبه آن آسان است (برآورد).

مدل های خطی بسیار مورد استفاده قرار می گیرند ، و در یک مدل رگرسیون خطی از Y در x ، مثلاً ρ متناسب با شیب خط رگرسیون است. این همچنین بدان معنی است که ρ و برآورد آن به طور طبیعی در تجزیه و تحلیل حداقل مربعات خطی ظاهر می شوند.

در چگالی گاوسی دو متغیره

f (x ، y) = 1 2 π 1 - ρ 2 σ x σ y × exp u2061<− 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( ( x − μ X ) 2 σ X 2 − 2 ρ ( x − μ X ) ( y − μ Y ) σ X σ Y + ( y − μ Y ) 2 σ Y 2 )>,

وابستگی بین X و Y کاملاً با ρ مشخص می شود. به طور خاص، دو متغیر گاوسی مشترک (X، Y) مستقل هستند اگر و فقط در صورتی که همبستگی نداشته باشند (برای اثبات رسمی این بیانیه، به عنوان مثال، Billingsley (2008، صفحات 384-385) را ببینید). برای تعداد قابل توجهی از مجموعه داده ها، توزیع گاوسی حداقل به عنوان یک تقریب نسبتا خوب عمل می کند. علاوه بر این، عادی بودن مجانبی مشترک اغلب به عنوان یک نتیجه از قضیه حد مرکزی برای بسیاری از آمارها ظاهر می شود، و رفتار مجانبی مشترک چنین آماری به طور کلی به خوبی توسط ضریب همبستگی تعریف می شود.

همبستگی لحظه محصول به راحتی به حالت چند متغیره تعمیم می یابد. برای متغیرهای تصادفی p X 1 , … , X p , وابستگی های مشترک آنها را می توان به سادگی (اما نه همیشه با دقت) با ماتریس کوواریانس Σ = مشخص کرد.<σ i j>با σ i j که کوواریانس بین X i و X j است. به طور مشابه، ماتریس همبستگی با Λ = تعریف می شود<ρ i j>با ρ i j همبستگی بین X i و X j است. دوباره، برای یک بردار ستون x = ( x 1 , ... , x p ) T , چگالی نرمال بودن مشترک با تعریف می شود

f ( x ) = 1 ( 2 π ) p / 2 |Σ |1/2 انقضاu2061<− 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ )>,

کجا |Σ |تعیین کننده ماتریس کوواریانس Σ است (که معکوس Σ - 1 فرض می شود وجود دارد) و μ = E (X) است. سپس ساختار وابستگی کامل بردار گاوسی با کوواریانس های زوجی σ i j یا به طور معادل، همبستگی های زوجی ρ i j به دست می آید. این قابل توجه است: کل ساختار وابستگی توسط وابستگی های زوجی تعیین می شود. بعداً وقتی به معیار وابستگی محلی گاوسی در فصل 4 و متعاقباً در فصل های بعدی رسیدیم، از این واقعیت به خوبی استفاده خواهیم کرد.

گسترش مفهوم همبستگی به سری های زمانی آسان است. برای یک سری زمانیتوابع خودکوواریانس و خودهمبستگی به ترتیب با فرض ایستایی و وجود گشتاورهای دوم توسط c (t) = σ (Xt + s , X s ) و ρ ( t ) = ρ ( X t + s , X s ) تعریف می شوند.) برای اعداد صحیح دلخواه s و t. برای یک سری زمانی گاوسی، ساختار وابستگی به طور کامل توسط ρ (t) تعیین می شود. برای سری های نوع خطی (مثلا ARMA)، تجزیه و تحلیل، به عنوان یک قاعده، بر اساس تابع اتوکوواریانس است، حتی اگر کل ساختار احتمال مشترک را نمی توان در مورد غیر گاوسی با این مورد دریافت کرد. حتی برای سری های زمانی غیرخطی و مدل های رگرسیون غیرخطی، تابع اتوکوواریانس اغلب نقش اصلی را ایفا می کند. در حوزه فرکانس، تمام تحلیل های طیفی سنتی دوباره بر اساس تابع اتوکوواریانس است. ملاحظات مشابهی در مدل های فضایی مانند مدل های کریجینگ خطی انجام شده است. استین (1999) را ببینید.

با وجود این دارایی ها، چندین ضعف جدی در ρ پیرسون وجود دارد. این موارد به طور خلاصه در بخش 3. 2 بررسی خواهند شد. در بخش های باقی مانده این فصل، تعدادی از معیارهای وابستگی جایگزین که فراتر از ρ پیرسون هستند، توضیح داده خواهد شد.